CINEMÁTICA

A velocidade

A equação horária do movimento:

A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.

S(t) = So + Vt
onde,

S = espaço final percorrido;
So = espaço inicial, com t = 0;
V = velocidade média do deslocamento;
t = tempo decorrido do deslocamento.

A velocidade escalar média

Indica o quão rápido um objeto se desloca em um intervalo de tempo médio e é dada pela seguinte razão:

Vmedia = (S final - S inicial) / (t final - t inicial)
onde,

S final = espaço final percorrido;
S inicial = espaço inicial, com t = 0;
Vmedia = velocidade média do deslocamento;
t final = tempo final do deslocamento.
t inicial = tempo inicial do deslocamento.
portanto,

Vm = ∆S / ∆t → tg(ᵩ) = cateto op / cateto ad.

A velocidade escalar instantânea

A velocidade instantânea de um móvel será encontrada quando se considerar um intervalo de tempo (∆t) infinitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo tender a zero (∆t → 0).

Como,

Vm = ∆S / ∆t → tg(ᵩ) = cateto op / cateto ad.
e, se, a variação de tempo tender a zero,

∆t → 0;
definimos a velocidade instantânea:

V = lim ∆S / ∆t
∆t → 0
O movimento uniforme

O movimento retilíneo e uniforme (MRU).

Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme.

Dada a equação horária do espaço:

S(t) = So + Vt
onde,

Vm = ∆S / ∆t → tg(ᵩ) = cateto op / cateto ad.
Isolando as variáveis, teremos:

S - So = Vt;
Vm = ∆S / ∆t;
∆t = ∆S / Vm = tf - ti = S - So / Vm;

Simulador do movimento uniforme

Para determinar o espaço final percorrido:

Dada a equação horária do espaço:

S(t) = So + Vt

Espaço Inicial:

Velocidade:

Tempo:

Resultado:

Para determinar a velocidade média do percurso:

Dada a equação da velocidade média:

Vm = ∆S / ∆t

Variação de espaço:

Variação de tempo:

Resultado:

Para determinar o gráfico da função horária do espaço:

Dada a equação horária do espaço:

S(t) = So + Vt

Espaço inicial (So):

Velocidade:

Tempo:

Resultado:
O movimento uniformemente variado

O movimento uniformemente variado

Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração à medida que o tempo passa.

A aceleração:
Assim como para a velocidade, podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação de velocidade ∆V em um intervalo de tempo ∆t, e esta média será dada pela razão:

A média = ∆V / ∆t
onde,

velocidade / tempo → m / s / s → m / s² A função horária da velocidade:
Se considerarmos to = 0, teremos a função horária da velocidade do Movimento Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]:

A média = ∆V / ∆t
onde,
∆V = A.∆t → V - Vo = A.∆t, e to = 0, logo:

V(t) = Vo + A.t

A posição em função do tempo [S = f(t)]

A melhor forma de demonstrar esta função é através do diagrama velocidade versus tempo (v x t) no movimento uniformemente variado.

O deslocamento será dado pela área sob a reta da velocidade, ou seja, a área do trapézio.

∆S = (V + Vo).t / 2
onde,
V(t) = Vo + A.t
portanto,
∆S = (Vo + A.t + Vo).t / 2 → (2Vo.t)/2 + (A. t²)/ 2
∆S = Vo.t + (A. t²)/ 2 ; ∆S = S - So;
logo:

S(t) = So + Vo.t + (A. t²)/ 2

Simulador do movimento uniformemente variado

Para determinar a aceleração média do percurso:

Dada a equação da aceleração média:

Am = ∆V / ∆t

Variação de velocidade:

Variação de tempo:

Resultado:

Para determinar a velocidade final do percurso:

Dada a equação horária da velocidade:

V(t) = Vo + A.t

velocidade inicial:

tempo:

aceleração:

Resultado:

Para determinar o gráfico da função horária da velocidade:

Dada a equação horária da velocidade:

V(t) = Vo + At

Velocidade inicial (Vo):

Aceleração:

Tempo:

Resultado:

Para determinar o gráfico da função horária do espaço:

Dada a equação horária do espaço:

S(t) = So + Vot + (A.t²/2)

Espaço inicial (So):

Velocidade inicial (Vo):

Aceleração:

Tempo:

Resultado:
O movimento vertical

Lançamento vertical

Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical. Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado.

As funções que regem o lançamento vertical são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g).

V(t) = Vo + gt
h(t) = ho + Vot + gt²/2
V² = Vo² + 2g∆h
onde, a aceleração da gravidade é:
g = 9,8 m/s².
Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento.

y = yo + Voy.t + a.t²/2

V(t) = Voy + a.t

V² = Voy² + 2.a.y

a = g (eixo orientado para baixo).

a = -g (eixo orientado para cima).

Simulador do movimento vertical

Para determinar o gráfico do lançamento vertical para baixo:

Dada a equação da função horária da velocidade:

V(t) = Vo + gt

velocidade inicial (Vo):

Tempo:

Aceleração da gravidade (g):

Resultado:

Para determinar o gráfico do lançamento vertical para cima:

Dada a equação da função horária da velocidade:

V(t) = Vo + gt

onde, V(t) = 0, e g < 0

Tempo:

Aceleração da gravidade (g):

Resultado:
O movimento oblíquo

O lançamento oblíquo

O lançamento oblíquo ocorre quando o objeto é arremessado a partir do solo, formando um determinado ângulo em relação à horizontal. No lançamento oblíquo, o movimento dos objetos é composto por um deslocamento da vertical e outro horizontal. Assim, ao mesmo tempo em que o objeto vai para frente, ele sobe e desce.

Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a (Voy) e aceleração da gravidade (g).

y(t) = yo + (Voy).t - 1/2.(gt²)

Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a (Vox).
sendo, S(t) = So + (Vox).t, e xo = 0;
obtemos:

x(t) = (Vox).t

As relações trigonométricas do vetor (Vo).

Para decompor o vetor em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:

Genericamente podemos chamar o ângulo formado de α .
Então:
sin(α) = Voy / |Vo|
logo:

Voy = |Vo| . sin(α)
e,
y(t) = yo + Vo.sin(α).t - 1/2.(gt²)

Na direção horizontal, temos:
cos(α) = Vox / |Vo|
logo:
Vox = |Vo| . cos(α)
e,
x(t) = Vo.cos(α).t

O alcance máximo (Rx)

Para encontrar o alcance máximo, relaciona-se as equações do espaço vertical e horizontal através do tempo:

Portanto, temos.
(1) y(t) = yo + Vo.sin(α).t - 1/2.(gt²),
no deslocamento vertical. E,

(2) x(t) = Vo.cos(α).t,
no deslocamento horizontal.

Isolando a equação horizontal pelo tempo, temos:
(3) t = x(t)/ Vo.cos(α)

Relacionando as equações (1) e (3) pelo tempo,

y(t)=yo + Vo.sin(α).[x/Vo.cos(α)] - 1/2.g.[x/Vo.cos(α)]²

No alcance máximo em x, yo = 0 e y(t) = 0, logo: 0 = 0 + x.[sin(α)/cos(α)] - 1/2.g.x²/[Vo².cos²(α)]

Como sin(α)/cos(α) = tg(α), temos:

x.tg(α) = 1/2.g.x² / [Vo².cos²(α)], assim,

x = 2.tg(α).[Vo².cos²(α)] / g, e,
x = 2.[sen(α)/cos(α)].[Vo².cos²(α)] / g, logo:
x = 2.sen(α).cos(α).Vo² / g,

sendo, 2.sen(α).cos(α) = sen(2α)
Encontramos, finalmente, a equação do alcance máximo:

Rx = sen(2α).Vo² / g

Para determinar o gráfico do alcance máximo (Rx):

Dada a equação do alcance máximo (Rx):

Rx = sen(2α).Vo² / g

onde, o ângulo α compreende (0 < α < 90 graus),
e g = 9,8 m/s²

Velocidade inicial Vo:

Ângulo (α) :

Resultado:

A altura máxima atingida (ymáx).

Para encontrar a altura máxima, utilizamos a transformação de Torricelli.:

Movimento Vertical

y = yo + Voy.t + a.t²/2

V(t) = Voy + a.t

V² = Voy² + 2.a.y

a = -g (eixo orientado para cima).
Portanto, temos.
(1) y(t) = yo + Vo.sin(α).t - 1/2.(gt²),
E,

(2) Vy(t) = Vo.sen(α).g.t,
no deslocamento vertical.

Relacionando as equações verticais (1) e (2) pelo tempo, temos:
(3) Vy² = Voy² - 2.g.(y - yo)

Adotando Vy = 0 e yo = 0, para a altura máxima:

0 = Voy² - 2.g.y, obtemos:

ymáx = Vo².sin²(α) / 2.g

Para determinar o gráfico da altura máxima (ymáx):

Dada a equação da altura máxima ymáx:

ymáx = Vo².sin²(α) / 2.g

onde, o ângulo α compreende (0 < α < 90 graus),
e g = 9,8 m/s²

Velocidade inicial Vo:

Ângulo (α) :

Resultado:

O movimento circular

Grandezas Angulares

Até então, as grandezas de espaço, velocidade e aceleração utilizadas, eram úteis para descrever movimentos lineares, isto é, unidimensionais. Contudo, na análise de movimento circulares, introduziremos grandezas angulares, cujas medidas efetudas em radianos são necessárias para descrever tais movimentos.

Da definição de radianos temos:
Φ = S / R
onde,
Φ (phi) : Deslocamento angular.
S : Arco de circunferência.
R : Raio de circunferência.
sendo a variação do deslocamento angular,
∆Φ = Φ - Φo →
∆Φ = ∆S / R
Análogo à velocidade linear, podemos definir a Velocidade angular
como a razão entre o deslocamento angular e a variação de tempo.
ω (ômega) = ∆Φ / ∆t
A Aceleração angular é definida através da razão entre a variação da velocidade angular pela variação de tempo.
α (alpha) = ∆ω / ∆t

O Movimento Circular Uniforme

No movimento circular uniforme, embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, portanto existe uma aceleração que não influencia no módulo da velocidade. Ela é conhecida como Aceleração Centrípeta.

Algumas relações importantes:

S (linear) = (angular) Φ.r
v (linear) = (angular) ω.r
A (linear) = (angular) α.r

A aceleração centrípeta é dada por:

a cp = v² / r e v = ω.r
logo
a cp = ω².r
e, se S = So + v.t
então, pode-se converter a equação da função horária do espaço linear para o angular.
Φ = Φo + ω.t

O Movimento Circular Uniformemente Variado

No movimento Circular Uniformemente Variado, há variação no módulo da velocidade angular, logo, um corpo que descreve um MCUV, possui aceleração angular.

MUV	MCUV
Grandezas Lineares	Grandezas Angulares
v = vo + a.t	ω = ωo + ω.t
s = so + vo.t + (a.t²)/2	Φ = Φo + ωo.t + (α.t²)/2
am = ∆v / ∆t	αm = ∆ω / ∆t
v² = vo² + 2.a.∆s	ω² = ωo² + 2.α.∆Φ

Para determinar as relações do MCU:

Dadas as equações do MCU:

Φ = s / r
ω = Φ / t → ω = 2.π / t
v = ω.r
a cp = ω².r

onde, o ângulo Φ compreende (0 < Φ < 2.π rad),

Raio da circunferência r:

Tempo :

Resultado:

ENSINANDO A FÍSICA - SAMUEL DELMONTE

Simulador do Movimento dos Corpos

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